为什么连续就有界 闭区间连续函数的有界性

闭区间连续函数的有界性？

闭区间上连续函数的有界性定理，通俗地说就是一个函数在闭区间（不包括半开半闭区间）内连续，则该函数在闭区间内有界。

充分性不难理解，即如果条件1成立，则条件2亦成立。上述习题的充分性通俗地讲就是想传达出这样一层含义：对连续函数f(x)，从x=a点开始，往后选无数个点，若这些点组成的数列的极限为无穷大，则原函数无界。作为一个选择题，可以通过图形快速判断充分性是成立的。

确界存在定理的证明方法有哪些就是实数连续性？

所谓实数的连续性指的是,对于实数集R的任意分割所产生的两个新数集A和B中,要么A有最大值,要么B有最小值.或者换句话说,分割的这一点要么属于A,要么属于B,不可能一个都不属于.用确界原理证明连续性,不妨假设对实数的一组分割A/B中,A没有最大值,只要证明B有最小值就证明了连续性.当然你假设B中没有最小值,去证明A中一定有最大值也是可以的.因为A是非空并且有上界的,B中每个元素都是A的上界,根据确界原理,A有上确界.设上确界为ξ,显然ξ∉A,因为如果ξ∈A,那么ξ就是A中最大值,和前提矛盾.现证明ξ是B中最小值.如果不是这样,不妨设B中存在一个数η0,根据上确界的定义,ξ-ε=(ξ+η)/2不再是A的上界,也就是说A中存在某个数x,x>(ξ+η)/2.而ξ>η,所以(ξ+η)/2>(η+η)/2=η,综上,在A中就有一个数x>η,所以η∈A,和假设"B中存在一个数η